Ještě k bohatsví a chudobě/12

12. část

Něco málo z teorie her

V návaznosti na předešlé si řekneme něco o teorii her v kontextu problémů, kterými se zabýváme. Teorie her je velmi rozsáhlou oblastí. Vzhledem k tomu, že je poměrně mladá, nemá ještě zcela ustálenou terminologii. V našem přístupu (v návaznosti na dělení her na kooperativní a nekooperativní) využíváme část aparátu a základní členění kooperativních her. Ty jsou poměrně přesně popsány i v české verzi Wikipedie, viz:

https://cs.wikipedia.org/wiki/Kooperativn%C3%AD_hra

Teorie her se původně zabývala nekooperativními, resp. antagonistickými hrami. Pokud budeme její "oficiální" vznik dávat do souvislosti s vydáním slavné knihy J. v. Neumanna a O. Morgensterna "Theory of Games and Economic Behaviour" z roku 1944, pak můžeme říci, že v tuto dobu zájem o nekooperativní hry zcela převažoval.

Zájem o jiný typ her, z nichž se začala rodit terminologie a tematizace problémů kooperativních her, začíná mimo jiné velmi zajímavou hrou, která se ne zcela přesně označuje jako "Manželský spor", "Souboj pohlaví" či dokonce v překladu i jako "Bitva pohlaví" (v logice hry je ovšem zřejmé, že se oba hráči mají rádi). Tento typ hry můžeme ilustrativně představit např. následující maticí:

ON má rád fotbal a divadlo mu nepřináší žádné potěšení.

ONA má ráda divadlo a fotbal ji nepřináší žádné potěšení.

Stejné potěšení má každý z nich, když jsou spolu. Hra je nekooperativní v tom smyslu, že se hráči nemohou domluvit.

Za řešení hry (jakékoli ve smyslu teorie her) bývá někdy považována tzv. Nashova rovnováha, tj. taková n-tice strategií (v případě dvou hráčů dvojice), kdy jednostranná změna strategie (jedním hráčem, aniž by ostatní hráči svou strategii měnili) nevede k jeho lepší výplatě. (Případně si pohorší.)

Ve velkém množstvím her nalezení Nashovy rovnováhy odpovídá intuitivně tomu, co chápeme pod optimální strategií.

Ve hře typu "Manželský spor" tomu tak není. V ní jsou dokonce tři Nashovy rovnováhy (dvě v čistých strategiích "fotbal : fotbal", "divadlo : divadlo" a jedna ve smíšených strategiích). Ze samotného zadání hry ovšem není zřejmé, pro kterou se rozhodnout.

Hra má ještě jeden zajímavý bod. To je případ, kdy každý hráč jde tam, kde mu návštěva události přinese užitek. Tedy ON jde na fotbal, ONA do divadla. Tomuto bodu se někdy říká "zaručená výhra". Je to nejvyšší výplata, jakou může dosáhnout při jakékoli volbě strategie druhým hráčem (tj. maximum z minim).

Jedním z podnětů pro vznik kooperativních her bylo najít jednoznačné řešení v případě, kdy se hráči mohou a chtějí domluvit. V tom případě se jim nabízí celá (kompaktní a konvexní) množina zlepšení. Hledání optimální strategie pak může být definováno jako (S, d) Nashův vyjednávací problém na množině kooperativních zlepšení oproti nekooperativní hře. Množina S jsou ona zlepšení, za bod nedohody d je považován bod zaručené výplaty.

Bohužel se ukázalo, že ani v tomto případě nelze nalézt jednoznačné řešení ve smyslu návrhu na rozdělení zvýšení užitku, které přinese dohoda mezi hráči.

Velmi důležité při analýze her tohoto typu je rovněž to, jak interpretovat výplatu hráčů. Většinou se chápe jako užitek ve smyslu subjektivního prožitku, který je nepřenositelný a intersubjektivně neporovnatelný.

Vraťme se nyní ke hrám, kterými se zabýváme.

V našem případě řešíme specifický druh kooperativní hry typu (S, d) Nashova vyjednávacího problému:

- Výplaty lze vyjádřit porovnatelným a přenositelnými finančními jednotkami.

- Bod nedohody d je na hranici konvexní množiny, jejíž zakřivení je dáno klesající mírou výnosnosti investičních příležitostí, kterými disponuje jeden a druhý hráč.

- Pozice bodu d je dána rozpočtovým omezením hráčů, resp. tím, kdo kolika investičními prostředky disponuje.

- Kooperativní zlepšení je dáno vztahem "věřitel – dlužník" (jeden z hráčů může využít k realizací svých investičních příležitostí investiční prostředky, které vlastní druhý hráč), přitom tak, aby byly investiční příležitosti využity podle míry jejich výnosnosti bez ohledu na to, kdo je jejich vlastníkem.

- Množina S (zlepšení oproti bodu nedohody d) má specifickou podobu, je ohraničena linií se sklonem 45 stupňů a představuje body určené různými možnostmi rozdělení maximálního výnosu z investičních příležitostí při daném součtu investičních prostředků a daných investičních příležitostech.

Připomeňme k tomu obrázek 4:

Obrázek 4:

Návazně pak doplníme obrázek 6 o další body (získáme obrázek 24), abychom si ukázali, některé detaily řešení příslušné kooperativní hry:

Obrázek 24:

Zde:

d₂       nový bod nedohody, který jako maximální výplatu může dosáhnout bohatší hráč

e₁        bod, ve kterém by byly využity všechny investiční příležitosti podle míry jejich výnosnosti

Pokud by měl bohatší hráč možnost dosáhnout bodu d₂, dal by mu v důsledku individuální racionality přednost před bodem e₁. Důsledky této skutečnosti se budeme zabývat v dalším pokračování.

(Pokračování)