(37.3) THBU – Manželský spor

Velké překvapení ve zdánlivě triviální hře. Dobře schovaná Nashova rovnováha. Čím se řídit, když zdravý rozum nepomáhá?

Úvodní poznámka

Od 25. ledna tohoto roku uveřejňuji každý den jeden díl seriálu Teorie her jako bojové umění. Všechny díly seriálu uveřejněné do 24.3.2013 lze stáhnout na

https://www.vsfs.cz/?id=1685-pracovni-materialy

Řešení úloh 2(37.1), 4(37.1), 1(37.2)

Výplata hráče ON bude:        3pq + 0(1 - p)q + 1p(1 - q) + 2(1 - p)(1 - q) =

                                               = p(4q - 1) -2q + 2

Výplata hráče ONA bude:     2pq + 0(1 - p)q + 1p(1 - q) + 3(1 - p)(1 - q) =

                                               = q(4p - 3) - 2p + 3

Modře jsou dosazeny hodnoty z výplatní matice hry typu Manželský spor.

Červeně v závorce výrazy, které rozhodují o tom, zda se příslušnému hráči vyplatí zvolit minimální či maximální pravděpodobnost, s níž bude hrát svou první či druhou strategii.

Na základě toho již můžeme namalovat reakční křivky.

Graf: Reakční křivky prvního hráče R₁(p) a druhého hráče R₂(q) u hry typu Manželský spor:

Vidíme, že zde se reakční křivky protínají (dotýkají) ve třech bodech:

(0, 0), (1, 1) – tyto dva body již známe, jedná se o Nashovy rovnováhy v čistých strategiích

(3/4, 1/4) – což je námi nově objevená Nashova rovnováha ve smíšených strategiích. To znamená, že ON s pravděpodobností 3/4 půjde na fotbal a ONA s pravděpodobností 3/4 půjde do divadla.

Podívejme se nyní, jakou výplatu bude mít první hráč, pokud bude hrát svou smíšenou strategii. Tu spočítáme, pokud dosadíme hodnoty p = 3/4 a q = 1/4 do výrazu 3pq + 0(1 - p)q + 1p(1 - q) + 2(1 - p)(1 - q), což nám dá 9/16 + 9/16 + 6/16 = 1,5.

Ani to nám ještě nedává odpověď na otázku, jakou strategii zvolit.

Pokud by se manželé mohli dohodnout, bylo by nejlepší, pokud by losovali, zda půjdou na fotbal nebo do divadla. V tom případě každý získá 2,5. Ale ani to nám nedává odpověď na otázku, jak postupovat, pokud bychom byli jedním z manželů a nemohli se domluvit, kam půjdeme.

Úloha k zamyšlení 1(37.3)

Jak mezi sebou porovnat různá rovnovážná řešení (rovnovážná ve smyslu Nashovy rovnováhy)?

(Pokračování)