VIZE/266: Investování do schopností a do pozice/11

Jedenácté pokračování využití aparátu teorie her (nejen kooperativních) k analýze investování do schopností a do pozice začnu citací obsáhlé pasáže z úvodu souhrnné práce Williama Tomsona o kooperativních hrách (Bargaining and the Theory of Cooperative Games: John Nash and Beyond), na který mě upozornil Ondřej Černík a přeložil jej do češtiny z anglického originálu. W. Tomson v něm určitým způsobem rekapituluje i vývoj přístupů k řešení kooperativních her. Text W. Tomsona barevně (fialovou barvou) odlišuji od svého textu a v dalších pokračováních jej rozeberu odstavec po odstavci, abych ukázal, v čem je možné jít dál a kde je nutné jít dál, abychom byli schopni řešit úlohy praktického významu. Zde je text W. Tomsona v Černíkově překladu (který jsem mírně upravil):

"V kooperativní hře dvou hráčů mají tito hráči dovoleno komunikovat se před samotným hraním hry, aby vznikly závazné dohody, jak používat společné (nebo korelované) randomizované strategie, a v některých variacích i vedlejší platby.

Vyjednávací množina negotiation set se skládá ze všech nedominovaných výplat (Paretooptimální množina), pro které každý hráč dostane alespoň jeho maximin hodnotu. Von Neumann a Morgenstern se domnívají, že v rámci teorie her, další omezení není možné, a že v každém rámci vyjednávání aktuální výběr z výsledku z multiplicity bodů ve vyjednávací množině závisí na určitých psychologických vlastnostech hráčů. Ostatní autoři s tím, že v mnoha reálných příkladech hráčů zřídka dohodnout na společně přijatelném bodu z negotiation set, se pokouší omezit "řešení" na jeden bod. Pozornost věnovali tomu, co možná může být myšleno tímto řešením, a došli jsme k závěru, že to může být ani popisný (deskriptivní), ani etické stav. Zvolili jsme výklad toto řešení z hlediska arbitra (rozhodce), snažili se vymyslet "spravedlivé" schéma pro rozhodování všech her, kde "spravedlivě" je určen tautologické smysl, že schéma splňuje určitá přiměřená dezideráta (vytoužené, žádoucí věci).  

Pro kooperativní hry dvou hráčů bylo navrženo, že rozumné axiomy mohou určit, že bod řešení leží v negotiation set, vyžadují, aby tento bod byl nezávislý na užitých jednotkách užitku a na označení hráčů, dále, že vyžaduje stabilitu v tom smyslu, že mírné odchylky od výplat drasticky  neovlivňují arbitrovanou hodnotu a odrážejí schopnosti vzájemných hrozeb obou hráčů. Zbytek této kapitoly byl věnován přesnějšímu vyjádření specifických axiomatických schémat.

První z nich bylo omezeno na třídu kooperativních her, kde se vyskytuje pouze výměny zboží: vyjednávací problémy. Nash předpokládá, že řešení tohoto problému by měla splňovat: neměnnost s ohledem na transformace užitku, Paretooptimalitu, nezávislost vedlejších alternativ a symetrie. Z nich vyplývá, že existuje unikátní řešení, které lze získat následujícím způsobem: převést měřítka (rozsahy) užitku tak, že status quo bod je v počátku, najít místo, na kterém je výsledek na dvou souřadnicích v maximu, a pak invertovat tuto transformaci užitku. Byla prezentována a diskutována řada kritik tohoto axiomatického schématu.
Některé přístupy k neomezeným kooperativním hrám byly popsány. První z nich, který jsme nazvali Shapleyho procedura, protože se jedná o mírné rozšíření Shapley hodnoty z teorie n-hráčů, bere si maximin hodnoty jako základ  pro vyjednávání. V asymetrické hře, která je symetricky řešena postupem, byla představena jako kritika.

Za druhé jsme popsali Nashovo rozšíření jeho řešení vyjednávacího problému. Nejjednodušší způsob, jak ho prezentovat, je snížit hru kooperativní na nekooperativní, ale to je zcela ad hoc. Alternativně axiomatická metoda pro získání stejného výsledku byla také načrtnuta. V podstatě šlo o dva axiomy, které byly přidány ke stávajícím pro vyjednávací problém, ale jejich racionální zdůvodnění se nezdálo být dostatečné. I když jsme byli kritičtí v obou oddělených přístupech k  Nashovu  řešení problému, cítili jsme, že každý pomáhal podporovat druhého a že společně mají oba hodně zásluh. Na Nashovo řešení samostatně přišel Raiffa který používal jiný typ racionálního zdůvodnění.

Další postup z několika navrhl Raiffa, spočívá na předpokládaném interpersonálním porovnání užitku. Kooperativní hra je přeměněna na hru s nulovým součtem relativních výhod a tím získá její hodnota, odpovídající obrysu relativní výhody nacházející se v kooperativní hře. Ignorování některých výjimečných případů, je průnik tohoto obrysu s Pareto optimální množinou a je považováno za řešení. Toto řešení není nezávislé na změnách v jednotkách užitku. V případech, kdy interpersonální srovnání nedávají smysl, Raiffa představuje následující schéma: transformovat měřítka (rozsahy) užitku hráčů ve hře tak, že splňují určité specifické požadavky pro tuto hru, za předpokladu, že tato volba vytváří interpersonální srovnání užitku (pro účely této hry), najdeme arbitrážní hodnotu, a pak transformujeme řešení zpět do jedné z původní hry převrácením užitkových transformací. Jako ilustraci tohoto postupu mohou být transformovány měřítka (rozsahy) užitku tak, že nejvíce preferovanou výsledek má užitek 1 a nejméně preferovaný má užitek 0. Braithwaite navrhl alternativní transformaci, v němž interval užitku od hráčovi maximin strategie (na základě jeho výplat) k jeho strategie minimax (na základě soupeřových výplat) pod podmínkou, že jeho soupeř použije jeho maximin strategii. Oba postupy splňují všechny Nashovy axiomy a dodrží nezávislost na irelevantních alternativách. Všimněte si, že řešení je nezávislé na jednotlivých změnách užitkových jednotek obou hráčů. Silná technická podobnost vznikla mezi těmito dvěma posledními postupy, které spočívají na kontuře relativní výhody, a Nashovu rozšíření jeho vyjednávacího řešení. Nakonec byla stabilita arbitrážního schématu hrubě definována. Tzn. arbitrární řešení je spojité ve změnách v měřítcích (rozsahu) užitku. Všechny systémy vykazují nestabilitu v oblastech, kde např. neexistuje žádný lepší bod pro oba hráče, než je status quo (bod nedohody), ale to se nezdá být vážným problémem."

Předběžně k textu W. Tomsona:

1. Převod reálného problému do podoby, ve které je k jeho řešení využitelný matematický aparát teorie her, je většinou velmi složitý úkol.

2. Složitost tohoto úkolu je dána mj. i tím, že při popisu reality nejdříve vytváříme určité koncepty, které jsou – nahlíženo aparátem teorie her – velmi složité komplexy mnoha, ale nedostatečně definovaných her.

3. Jde o to identifikovat v nich tu "pravou" hru, tu, prostřednictvím které lze realitu "rozklíčovat".

4. Podle mě (a je to mé hluboké přesvědčení) si teorie her při mnoha aplikacích zbytečně "komplikuje život" tím, že se nedokáže vymanit z "neoklasické pasti" maximalizace užitku; ekonomie produktivní spotřeby nabízí vhodnější řešení: subjekty (hráči) maximalizují současnou hodnotu svého budoucího příjmu.

Ad 4: Námitka, že žádný subjekt nedokáže "online" ocenit vliv pořizování spotřebních statků či jiné aspekty svého jednání z hlediska jejich dlouhodobých dopadů na budoucí příjem není relevantní. Totéž přece platí i v případě ocenění budoucího užitku či jinak řečeno: Je pro někoho snazší ocenit současnou hodnotu svého budoucího prožitku než budoucího příjmu?

(Pokračování dalším článkem této série)