(38.1) THBU – Axiómy „našeho“ světa

8. duben 2013 | 08.04 |

Jak spolu v Platónově říši idejí vše souvisí, aneb o kráse matematiky. Jaké axiómy platí v "našem světě"? Nejen fyzikové znají mnoho světů.

Úvodní poznámka

Od 25. ledna tohoto roku uveřejňuji každý den jeden díl seriálu Teorie her jako bojové umění. Všechny díly seriálu uveřejněné do 24.3.2013 lze stáhnout na

http://www.vsfs.cz/?id=1685-pracovni-materialy

V tomto dílu se dostaneme k otázkám s velmi atraktivním filozofickým nábojem. Plně se tomu, co lze z poznatků, které získáme, vytěžit, budeme věnovat v další části.

Od kooperativní hry k Nashovu vyjednávacímu problému

Připomeňme si obrázek 2 z předcházejícího dílu, který znázornil rozdíl mezi výplatami v nekooperativní a kooperativní hře.

Obrázek 2(37.6): Body dosažitelné v rámci kooperativní hry

Body dosažitelné v rámci nekooperativní a kooperativní hry můžeme (v souřadnicích, v nichž budeme mít jen výplaty hráčů) v obecném případě znázornit takto:

0pt;font-family:"Times New Roman","serif"">

Obrázek 1:

Jakým způsobem se mohou hráči podělit o možnost paretovského zkepšení?

Pamětníci si vzpomenou, že podobným problémem jsme se již zabývali, viz:

http://radimvalencik.pise.cz/82-teorie-her-jako-bojove-umeni-25.html

http://radimvalencik.pise.cz/84-teorie-her-jako-bojove-umeni-26.html

a zejména

http://radimvalencik.pise.cz/87-teorie-her-jako-bojove-umeni-29.html

ovšem v jiném kontextu a proto i naše řešení bylo odlišné od toho, které si dále ukážeme.

Otázka, jak se hráči mohou dohodnout, se nazývá Nashův vyjednávací problém. Jedno z prvních řešení s definovanými axiómy navrhl (kdo jiný než?) Nash. Jinak řečeno - to jak se mohou hráči "podělit" o paretovské zlepšení, lze zdůvodnit různým způsobem. Nash navrhl takový způsob, kterému odpovídají axiómy, které - jak se na první pohled zdá z intuitivního hlediska - prostě "musí platit". Smysl příslušných axiómů se pokusím vysvětlit co nejsrozumitelněji, a to i za cenu určitých zjednodušení. Budeme přitom uvažovat pouze případ dvou hráčů. Jedná se o následujících šest axiómů:

1. Individuální racionalita: Výplata každého z hráčů musí být větší než v bodě nedohody.

2. Paretovská optimalita: Pokud je řešením dvojice výplat hráčů (x*, y*), pak musí být tato dvojice paretooptimální (žádný z hráčů nesmí mít možnost si polepšit, aniž by si druhý pohoršil).

3. Dosažitelnost: Řešení musí patřit do množiny možných výplat, tj. musí platit S(x, y) ˂ 0.

Tyto tři první axiómy jsou triviální a těžko si představit, že by nějaké "rozumné" řešení mohlo být založeno na jiných. (Některé z těchto axiómů však mohou být nahrazeny jinými.) Hned další axióm již tak triviální není. Platí to i pro další dva.

4. Nezávislost na irelevantních alternativách: Existuje-li nějaká množina S´(x, y), která je podmnožinou množiny S(x, y), vyjednávání se omezuje jen na tuto množinu S´(x, y) a současně původní řešení v S(x, y), tj. (x*, y*) zůstává prvkem S´(x, y), pak ani v S´(x, y) není možné najít jiné řešení než v S(x, y). Jinak řečeno - všechny podmnožiny S´(x, y) množiny S(x, y) tvoří irelevantní alternativy, které nepřinášejí nic nového, jejich přítomnost či nepřítomnost v původní vyjednávací množině nemá žádný vliv na výsledek vyjednávání.

5. Nezávislost na lineárních transformacích: Pokud je množina S´(x, y) získána lineární transformací množiny S(x, y), pak stejným způsobem je lineárně transformováno i řešení. Tj. je-li x´= ax + b, y´= cx + d, pak řešení v S´(x, y) je x*= ax + b, y*= cx + d. (Jedná se o velmi důležitý axióm, který, jak se "opticky" zdá, musí platit vždy a všude; tak tomu ovšem není.)

6. Symetrie: Je-li množina S(x, y) symetrická v tom smyslu, že pokud dvojice (x, y) do této množiny patří, pak tam patří i dvojice (y, x), a současně platí x0 = y0, pak platí i pro řešení, že x* = y*

Základní tvrzení a naznačení jeho důkazu

Nash dokázal, že pokud je těchto šest axiómů splněno (tj. "jsme ve světě", kde platí těchto šest axiómů), pak je tím pro jakoukoli množinu S dvojic (x, y), která splňuje některé elementární požadavky (je konvexní a kompaktní) jednoznačně určeno řešení (Nashova) vyjednávacího problému.

Důkaz tohoto tvrzení je proveden zajímavým způsobem. Nash konstruuje funkci g(x, y) = (x − y0)(x − y0) a pak již jen dokazuje, že hodnoty x a y, při kterých se tato funkce dotýká množiny S(x, y) jsou hledaným řešením a to řešením jediným.

Poznámka:

V tomto případě si lze představit, jak k uvedenému fascinujícímu výsledku Nash došel. Nejdříve ho patrně z určitých důvodů napadlo, že jedním z možných způsobů toho, jak se hráči mohou "podělit" o paretovské zlepšení v kooperativní hře (oproti nekooperativní) může být rozdělení dle příslušné funkce (maximalizace součinu zlepšení výplat oproti bodu nedohody). A pak si ověřil, že toto řešení je mimořádně zajímavé právě tím, že je jediné, které odpovídá z intuitivního hlediska poměrně samozřejmým axiómům.

Úloha k zamyšlení 1(38.1):

Dokážete si představit i jiná řešení Nashova vyjednávacího problému? Třeba i mnohem jednodušší...

Úloha k zamyšlení 2(38.1):

Dovedete si představit svět, ve kterém místo některého z uvedených axiómů platí axióm jiný?

(Pokračování)

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 0.00 (0x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře