Teorie her jako bojové umění (26)

20. únor 2013 | 08.00 |

Teorie her jako bojové umění (26) 

Řešení úlohy 1(25) - Která z dvoučlenných koalic vznikne a co rozhodne o jejím vzniku?:

Situaci popsanou v této úloze k zamyšlení můžeme interpretovat různě. Například tak, že jakýkoli vnější vliv (byť i velmi malý), může předurčit vznik některé diskriminační rovnováhy, tj. to, že nastane právě tato a ne jiná diskriminační rovnováha.

Lze však uvažovat i jinak. Předpokládejme, že vznik každé z diskriminačních rovnováh je stejně pravděpodobný (tj. pravděpodobnost vzniku této koalice se rovná 1/3). Pak každý z hráčů může počítat s očekávanou průměrnou výplatou ve výši 2/3 své výplaty, kterou by měl ve vítězné koalici. (Existují dvě koalice, v nichž bude, a v obou má stejnou výplatu.) Tím se dostáváme k odpovědi na úlohu 2(25).

Řešení úlohy k zamyšlení 2(25) - Mohou si hráči polepšit, pokud se dohodnout na vytvoření trojčlenné koalice? Pokud ano, tak za jakých podmínek?:

Pokud budeme uvažovat rozdělení výplat, kdy každý z hráčů dostane očekávanou průměrnou výplatu, bude za určitých (běžné realitě odpovídajících) podmínek platit, že si oproti očekávané průměrné výplatě mohou všichni tři hráči polepšit, když se společně dohodnou. Možných rozdělení výplat, na nichž se mohou dohodnout za podmínky, že si všichni tři polepší, je celá řada. Rovněž tak i způsobů či cest, jak se k takovému rozdělení dostat.

Poznámka: Uvedený problém spadá do oblasti těch, které se nazývají Nashův vyjednávací problém. Každý případ tohoto typu problému je zadán dvojicí (S, d), kde S (odvozeno od anglického "set" - množina) je kompaktní konvexní podmnožina nějakého n-rozměrného prostoru (v případě tří hráčů trojrozměrného) a d (odvozeno od anglického "disagreement point" - bod nesouhlasu, resp. nedohody) odpovídá rozdělení výplat, při kterém se tři hráči nedohodnou.

Pokud chceme ukázat, jakou roli hrají vnější vlivy typu afinit (spřízněnosti) hráčů (tj. to, zda jsou si sympatičtí či nesympatičtí) na daný systém, potřebujeme nějakým způsobem porovnat situaci, kdy se každý hráč bude snažit vytvořit dvoučlennou koalici s jiným hráčem, se situací, kdy se všichni tři dohodnou (toto porovnání znamená - v terminologii ekonomické teorie - uplatnění principu nákladů obětované příležitosti). K tomu se nabízí považovat za bod nedohody ten, který má souřadnice odpovídající průměrným očekávaným výplatám jednotlivých hráčů.

Vzniká otázka, které z možných zlepšení všech tři hráčů zvolit. Logické je předpokládat, že jednou z vlastností tohoto řešení bude, že dospějeme-li k němu, nebude si již moci žádný z hráčů zlepšit svoji výplatu, aniž by se jinému zhoršila (to je známý předpoklad paretovské optimality).

Jak jsme si již uvedli, požadujeme, aby řešení, při kterém všichni tři hráči dospějí ke společné dohodě, bylo porovnatelné s řešením odvozeným od snahy každého hráče vytvořit s některým ze dvou ostatních hráčů koalici a diskriminovat třetího hráče. Proto i při hledání zlepšení oproti tomu, co jsme označili jako bod nedohody, má smysl použít stejný postup, kterým jsme dospěli k výchozímu bodu nedohody. Tj. řešit tutéž hru, ovšem s pozměněným zadáním, kdy se minimální výplata každého hráče rovná jeho výchozí očekávané průměrné výplatě. Pokud tento postup budeme opakovat, dopějeme k bodům se stále větší výplatou a budeme se blížit k bodu, který nazýváme bodem společně přijatelné rovnováhy. (Z matematického hlediska lze tento bod vymezit jako limitu určité posloupnosti.)

K tomu viz následující obrázek:

Tmavé křivky uvnitř plochy omezují množinu možných výplat, odpovídají bodům, v nichž mají jednotliví hráči očekávanou průměrnou výplatu. Na obrázku jsou tyto křivky označeny LEALPAB1, LEALPBC1 LEALPAC1 (zde je ovšem v původním obrázku malá nepřesnost, místo LEALPBC1 a LEALPAC1 je zde dvakrát LEALPBC1 LEALPBC1, ale čtenář určitě pochopí, jak to má být správně).

Šrafovaná plocha vymezená příslušnými liniemi představuje paretovské zlepšení výplat hráčů oproti jejich průměrné očekávané výplatě. Na této ploše paretovských zlepšení se pak opět hraje hra stejného typu, viz linie LEALPAB2, LEALPBC2, LEALPAC2, od které se hráči dostanou k další ploše paretovských zlepšení oproti té, na které se tato hra hrála.

Poznámka: Uvedené řešení nazýváme NM-modifikované Raiffovo řešení (NM znamená, že vycházíme z Neumann-Morgensternovy vnějšně i vnitřně stabilní množiny). Raiffovo řešení, vzniklo již v roce 1950. Raiffa navrhuje dynamickou proceduru kooperativního vyjednávání, kde se bod nesouhlasu postupně mění. Diskin-Koppel-Samet později axiomatizovali a zobecnili Raiffovo diskrétní řešení.

Co nám umožňuje dosažený výsledek říci o reálném chování lidí v systémech, které jsme pojmenovali jako redistribuční systémy?

(Dodejme, že zatím uvažujeme pouze případ tří hráčů, resp. osob.)

Na uvedenou otázku odpovíme v několika bodech:

1. Pokud by na redistribuční systém nepůsobily žádné vnější vlivy, vyplatilo by se každému z hráčů dát přednost společné domluvě všech tří hráčů před snahou o vytvoření dvoučlenné koalice s některým ze dvou ostatních hráčů a diskriminovat třetího hráče.

2. Pokud máme zadánu hru (S, d), je možné rozdělení výplat odpovídající uvedené dohodě vypočítat. Pokud jde o reálné chování hráčů, lze předpokládat, že si více či méně představují, jak k dohodě dospět a jaký bude její výsledek.

3. Pokud na systém působí nějaký vnější vliv či více vnějších vlivů v podobě afinit mezi hráči, může tento vnější vliv predeterminovat (předurčit) vznik některé z dvojčlenných koalic.

(Nyní se dostáváme již velmi blízko tomu, abychom ocenili roli sociálních sítí působících mezi hráči v různých redistribučních systémech.)

(Pokračování) 

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 1 (1x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře