Teorie her jako bojové umění (25)

19. únor 2013 | 08.00 |

Teorie her jako bojové umění (25) 

K úloze 1(24):

Uvažujeme případ, že na systém tří hráčů nepůsobí žádné vnější vlivy. Hráči mohou vytvářit dvoučlenné koalice (dva hráči se spojí s rozhodnou o výplatě své i výplatě třetího hráče), nebo koalice trojčlenné, pokud se dohodnou všichni tři mezi sebou. Předpokládáme přitom, že každý z hráčů může ovlivnit rozdělení stejným způsobem (má 1 hlas) a že 2 hlasy jsou dostatečné k tomu, aby proběhlo jakékoli rozdělení výplat podle možností vymezených množinou S(x, y, z) < 0.

Možnost vytvořit dvoučlennou koalici je pro každého hráče nákladem obětované příležitosti vůči možnosti vytvořit dvoučlennou koalici s druhým nebo se třetím z ostatních hráčů.

Pravidlo rozdělení výplat v případě tvorby dvoučlenných koalic

Uvažujme nyní jen případ, kdy se hráči rozhodli vytvářet dvoučlenné koalice, přitom ti, co tuto koalici vytvoří, budou plně (v maximální možné míře) diskriminovat třetího hráče.

Pokud by mezi hráči neexistovaly žádné vztahy sympatií či antipatií a postavení hráčů bylo symetrické (každý by měl možnost ovlivnit vznik koalice stejným způsobem), mohly by vzniknout jen takové dvoučlenné koalice, ve kterých by měl každý z hráčů stejnou výplatu v koalici s jedním i s druhým hráčem. Pokud by totiž pro sebe chtěl některý z hráčů více v jedné nebo ve dvou z dvoučlenných koalic s druhým či třetím hráčem, vytvořila by se koalice bez něj.

Uvedené pravidlo určuje tři rovnovážné situace (nazveme je diskriminační rovnováhou):

- Koalici vytvoří Hráč 1 a Hráč 2, plně diskriminován je Hráč 3.

- Koalici vytvoří Hráč 1 a Hráč 3, plně diskriminován je Hráč 2.

- Koalici vytvoří Hráč 2 a Hráč 3, plně diskriminován je Hráč 1.

K tomu následující obrázek:

Zde:

- Souřadnice x, y, z odpovídají výplatám jednotlivých hráčů.

- Modré křivky odpovídají množinám bodů, kdy dva hráči plně diskriminují třetího hráče a sami tito dva hráči mají některou z maximálně možných výplat (žádný z nich si nemůže polepšit, aniž by si druhý pohoršil). Jsou řešením soustavy rovnic

S(x, y, 0) = 0

S(x, 0, z) = 0

S(0, y, z) = 0

- Body dxz, dxy, dyzna modrých křivkách nazýváme diskriminační rovnováhy. Platí pro ně, že každý hráč v nich má stejnou výplatu s jedním i druhým z ostatních hráčů, konkrétně Hráč 1 má stejnou výplatu dx s Hráčem 2 a Hráčem 3, podobně to platí pro hodnoty dya dz vyznačené červenými šipkami.

Pokud známe rovnici, která (při grafickém vyjádření) omezuje plochu maximálních výplat, pak lze poměrně snadno tyto hodnoty spočítat. V reálném životě jsou hráči (konkrétní lidé) tyto hodnoty schopni poměrně přesně odhadnout. Proč? Odpovědi na tuto otázku slouží následující úvaha.

Pokud by hráč pro sebe chtěl více, než si zaslouží, ocitl by se vně vítězné koalice. Pokud by chtěl méně, zbytečně by se připravil o část výnosu. V souvislosti s druhým případem je nutné učinit dvě poznámky, z nichž vyplývá, že ani tato situace zpravidla v reálných hrách nenastane:

- Pokud Hráč 1 požaduje nižší výplatu s Hráčem 2, než by si v návaznosti na výše uvedené zasloužil, okamžitě by Hráč 3 přišel s výhodnější nabídkou pro Hráče 1 - postupně by se tak výplaty všech hráčů měly tendenci přiblížit k hodnotám diskriminační rovnováhy.

- Pokud se hra spojená s rozdělením výplat v redistribučním systému hraje v kontextu navazující hry typu Poziční investování, musí si každý hráč hlídat, aby požadoval tolik, na kolik má právo v rámci příslušné diskriminační rovnováhy. Jinak by totiž v navazující hře spojené s pozičním investováním utrpěl ztrátu.

Z výše uvedeného vyplývá jeden důležitý závěr: Každý, kdo chce být úspěšný ve hrách v těch systémech, které mají vlastnosti redistribučního systému, se musí snažit co nejlépe a nejpřesněji odhadnout své reálné schopnosti, svůj reálný přínos i to, jak jej vidí ostatní hráči. (Jak přeceňování, tak podceňování vede ke ztrátám.) Tomuto problému se budeme později věnovat podrobněji, protože schopnost odhadu vlastního přínosu souvisí rovněž s určitým typem her.

Za zmínku stojí ještě jeden zajímavý moment. Množina tří kombinací výplat třech hráčů, která se sestává ze situací, které jsme nazvali diskriminačními rovnováhami, tvoří tzv. diskrétní Neumann-Morgensternovu množinu, která je vnitřně i vnějšně stabilní, což znamená, že:

- o žádném z bodů z této trojčlenné množiny nemůžeme říci, že je lepší než některý jiný bod této množiny, tj. že alespoň někteří dva hráči v něm mají výplatu větší (to je vnitřní stabilita),

- pro každý bod z množiny všech možných rozdělení výplat kromě uvedených tří bodů platí, že alespoň jeden ze tří bodů naší množiny je lepší, tj. že existují takoví dva hráči, kteří v tomto bodě mají větší výplatu (to je vnější stabilita).

(Tj. žádný bod této množiny není ani "zbytečný", ale ani "nadbytečný".)

Jedna z možných interpretací je následující: Pokud by se hráči rozhodli orientovat se na vytvoření dvoučlenné koalice, mohla by vzniknout jen některá ze tří koalic s výplatami hráčů odpovídajícími uvedeným bodům Neumann-Morgensternovy množiny. (Uvažujeme modelovou situaci, kdy jsou hráči plně racionální, plně informováni a nepůsobí - alespoň zatím - žádné vnější vlivy.)

Úloha k zamyšlení 1(25):

Která z dvoučlenných koalic vznikne a co rozhodne o jejím vzniku?

Úloha k zamyšlení 2(25):

Mohou si hráči polepšit, pokud se dohodnout na vytvoření trojčlenné koalice? Pokud ano, tak za jakých podmínek?

(Pokračování)

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 0.00 (0x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře