R2016/050: TITANIC blízko cíle/7

Připomeňme si matici, ze které vycházíme:

15pt">

Již dříve jsme zdůvodnili, jaké předpoklady musí platit a jaké hry rozlišujeme.

A12 < A11

A21 < A22

Tj. volba vhodné strategie nemá negativní vliv na výsledek toho, kdo vhodnou strategii zvolil.

Tj. nezávisle na tom, o co se bude snažit hráč A, tak pokud hráč B zvolí kooperativní strategii, zvýší se šance "průměrného" (náhodně vybraného) hráče na přežití.

Pak musí platit:

B12 < B11

B22 < B21 (pozor – touto podmínkou se liší pozice hráče A a hráče B!)

Při kooperativní hře nemůže být "průměrná" šance na záchanu menší než pokud se prosaí hra nekooperativní.

Rozlišujeme dva případy:

Případ 1:

A11 > A22 hlavní charakteristika

A11 > A21 dodatečná podmínka

Hráč A předpokládá, že má větší šanci na záchranu, pokud se prosadí kooperativní strategie.

Případ 2:

A22 > A11 hlavní charakteristika

A22 > A12 dodatečná podmínka

Hráč A předpokládá, že má větší šanci na záchranu, pokud se prosadí nekooperativní strategie.

Existuje patrně řada dalších vztahů mezi parametry a existují i další aspekty rozlišení her. Jejich odhalení je věcí dalšího trpělivého bádání.

Dnes si ukážeme, jak můžeme použít matematický aparát k rozlišení situací, které mohou nastat, návazně pak interpretovat, jaký je jejich reálný smysl. Jako nejvhodnější se k tomuto účelu jeví nalezení řešení (včetně těch, které jsou ve smíšených strategiích), prostřednictvím aparátu reakčních křivek (křivek, které popisují nejvhodnější reakci jednoho hráče na jakoukoli smíšenou strategii prvního hráče.

Reakční křivka hráče A:

R_A(p, q) = A11·p·q + A21·p·(1−q) + A12· (1−p)·q + A22· (1−p)·(1−q) 

Reakční křivka hráče B:

R_B(p, q) = B11·p·q + B21·p·(1−q) + B12· (1−p)·q + B22· (1−p)·(1−q)

Pro pohodlnější práci s číselným vyjádřením a přehlednější prezentací výsledků využijeme následující matici:

                                                                                                                                                    p

K tomu:

- Modrá část: Řádky obsahují vyjádření pravděpodobnosti, že nastane příslušná výplatní situace, tj. že hráč A zvolí s pravděpodobnosti p svou první strategii a hráč B zvolí s pravděpodobnosti q svou první strategii.

- Červená část jsou hodnoty v jednotlivých buňkách dvoumatice.

- Do zelené části se dosadí funkce reakčních křivek.

- Žlutá část obsahuje parciální derivace reakčních křivek, z nichž vyplývá, kde jsou maxima.

Bílá část vpravo obsahuje plochu pro vyznačení průběhu reakčních křivek. (Pro ilustraci jsme vybrali jeden z možných tvarů; v daném případě existují tři řešení.)

Poznámka: Podrobnější a velmi srozumitelný výklad najde zájemce v elektronické učebnici M. Hykšové na:

https://euler.fd.cvut.cz/predmety/teorie_her/prednaska_dvojmat.pdf

(Pokračování)