Pro ty, co chtějí poznat a pochopit, o co v dnešním světě jde, a nebojí se přemýšlet, může být série, kterou postupně uveřejním pod názvem "Evoluce finančních trhů", užitečná.
Důležitá upozornění:
1. Vzhledem k tomu, že základem je odborný text, je nutné před každým pokračováním prostudovat předcházející díly série. Podle mého názoru to stojí zato.
2. Do hlavního odborného textu vkládám popularizační a objasňující poznámky, z důvodu jednoznačného odlišení menším písmem a do rámečku.
Nyní již 2. část:
Model nabídky a poptávky investičních příležitostí a investičních prostředků na finančním trhu
Uvažujeme model finančního trhu, na kterém jsou dva subjekty, z nichž každý disponuje investičními příležitostmi (tím, do čeho lze investovat) a investičními prostředky (to, co lze investovat). Spojením určitého množství investičních prostředků s určitou investiční příležitostí vzniká určitý výnos. Současný příjem, kterým ekonomické subjekty disponují, budeme považovat za investiční prostředky. Budoucí příjem, který získají spojením investičních příležitostí s investičními prostředky, budeme považovat za jejich výnos.
Budeme předpokládat, že oba ekonomické subjekty budou svůj budoucí výnos maximalizovat, což je totéž, jako když řekneme, že budou využívat investiční příležitosti v pořadí jejich výnosnosti, tj. funkce mezního výnosu z investičních příležitostí (jejíž proměnnou je množství investičních prostředků), kterými disponuje jeden i druhý ekonomický subjekt, je funkce nerostoucí v celém svém definičním oboru. Funkce mezního výnosu z investičních příležitostí obou subjektů jsou spojité, přičemž minimum jedné z funkcí je menší než maximum druhé funkce a maximum první funkce je větší než minimu druhé funkce, viz:
Graf. 1: Nabídka a poptávka investičních prostředků a investičních příležitostí
Moje vysvětlující poznámky pro ty, co nejsou specialisty v daném oboru:
Výše uvedeným říkáme v podstatě velmi jednoduchou věc. Totiž to, že když někdo má možnost do něčeho investovat tak, že to vynese více, než pokud by investoval ten druhý, pak mu ten druhý může půjčit své investiční prostředky a podělit se s ním o výnos. Oba na tom budu lépe. To, o kolik si polepší, vyjadřuje v grafu světlá modrá plocha.
Jinak řečeno - ten, komu dojdou vlastní výnosné investiční příležitosti, může zbývající investiční prostředky půjčit druhému s tím, že se následně oba podělí o výnos z toho, co tím získají navíc.
A jak se podělí? Pokud budou chtít využít investiční příležitosti, kterými disponují, co nejlépe, tak bude odměna za každou jednotku investičních prostředků dána výnosem z té poslední investiční příležitosti, kterou bude každý z nich realizovat. A poslední jednotka bude právě ta, ze které se budou výnosy jednoho a druhého ekonomického subjektu rovnat (výnos z ní bude yE, viz obrázek). Výnosy se rovnají tam, kde se příslušné funkce přírůstku výnosu (teorie nazývá přírůstky výnosů ne zcela šťastným pojmem "mezní výnos") protínají.
Nyní přijde matematický popis, nenechejte se jím vystrašit. V následujícím komentáři se pokusím sdělit vše velmi prostě.
V Grafu 1:
* x1, x2 - x1jsou množství investičních prostředků, kterými disponuje jeden a druhý ekonomický subjekt
* y je budoucí výnos v mezních veličinách
* f(x), g(x), resp. g(x2 - x) neklesající spojité funkce mezního výnosu z investičních příležitostí, g(x) je upravená z důvodu vhodnějšího grafického vyjádření příslušné situace
* Šipkami na funkcích f(x) a g(x2 - x) je vyjádřeno to, jakým směrem jsou postupně využívány investiční příležitosti, kterými jednotlivé subjekty disponují, definičním oborem obou funkcí je uzavřený interval od 0 dox2.
* E1(xE, yE) je bod, ve kterém f(x) = g(x) = f(x2 - x) = g(x2 - x), v tomto bodě jsou využity všechny investiční příležitosti obou subjektů podle míry jejich výnosnosti
* Světle modrá plocha ukazuje velikost maximálního paretovského zlepšení v důsledku působení finančního trhu, kdy jeden ze subjektů se vzdá svých méně výnosných investičních příležitostí a poskytne je subjektu druhému
Celkový výnos prvního (obdobně druhého) ekonomického subjektu je:
0ʃx1f(x).d(x) = x1ʃx2-x1f(x 2 - x).d(x)
0ʃx2-x1g(x).d(x) = x1ʃx2g(x 2 - x).d(x)
V případě, že cena investičních prostředků bude určena rovností mezních výnosů, tj. tím, že f(x) = g(x), využijí se investičních příležitosti obou subjektů podle míry jejich výnosnosti. Velikost kompenzace subjektu, který poskytl své investiční prostředky k realizaci investičních příležitostí druhého subjektu bude yE(xE - x1).
Z hlediska matematické analýzy se zdá být problém vyřešen. Jedná se o úlohu, která je specifickým případem tzv. problému rozdělení vody, ovšem s některými specifikujícími předpoklady. K tomu viz např.
Problém je však v předpokladech, na kterých toto řešení stojí. Těm, které jsme explicitně uvedli, se budeme věnovat v další kapitole. Převedení modelu do podoby kooperativní hry ukáže další předpoklady.
Moje vysvětlující poznámky pro ty, co nejsou specialisty v daném oboru:
Funkci g(x) měníme na g(x2 - x ) proto, aby šla "proti" funkci f(x), a to jen z důvodu názornosti toho, o čem graf vypovídá.
"Cena investičních prostředků" je totéž co odměna, kterou za jejich půjčení jeden ekonomický subjekt dostane od druhého.
Požadavky, které na funkce klademe jsou zčásti zásadní (to, že obě funkce jsou nerostoucí – tomuto předpokladu se budeme věnovat zvlášť), zčásti jen technické (předpoklad spojitosti funkcí zjednodušuje názornou prezentaci).
Laika patrně nejvíce vyděsí symbolika určitých integrálů, viz:
0ʃx1f(x).d(x) = x1ʃx2f(x 2 - x).d(x)
0ʃx2-x1g(x).d(x) = x1ʃx2g(x 2 - x).d(x)
Tak zde není třeba se vzrušovat. Stačí si zapamatovat či představit, že určitý integrál je plocha po křivkou, tj:
0ʃx1f(x).d(x) je plocha pod křivkou f(x) od bodu 0 do bodu x1 .
x1ʃx2 g(x 2 - x).d(x) je plocha pod křivkou g(x 2 – x) od bodu x1 do bodu x2.
Tj. podle symbolů dole a nahoře u integrálu se díváme, odkud kam plocha je, funkce nám pak určí omezení plochy shora.
A proč to všechno? Uvidíme, že právě tento popis umožní ve zdánlivě jednoduché úloze odhalit skryté předpoklady, které jsou pro čtení reality mimořádně významné.
(Pokračování další částí)