V jakém světě bychom chtěli žít? Jak teorie her odhaluje sociální či existenciální "mnohosvětovost".
Úvodní poznámka
Od 25. ledna tohoto roku uveřejňuji každý den jeden díl seriálu Teorie her jako bojové umění. Všechny díly seriálu uveřejněné do 24.3.2013 lze stáhnout na
V předcházejícím dílu jsme zjistili, že zdánlivě velmi jednoduchá úloha (to, jak si podělit výsledky toho, že se dohodneme, oproti situaci, kdy se nedohodneme) nás vede k objevení "mnohosvětovosti" nikoli jen dle fyzikálních parametrů, ale i sociálních či dokonce existenciálních kontextů.
Připomeňme si hlavní závěr z minulého dílu
Ve většině reálných situací si můžeme polepšit, pokud se dohodneme, tj. pokud budeme hrát příslušné hry kooperativně. Jinak řečeno - oproti nějaké situaci v případě nedohody si v případě dohody můžeme rozdělit větší výplaty. To považujeme za normální situaci a ona to normální situace je.
Jenže - jak se dohodnout (tak zní Nashův vyjednávací problém)? Například "fifty-fifty". Jedno z nejjednodušších dělení.
(Tímto dáváme odpověď na úlohu 1(38.1): Dokážete si představit i jiná řešení Nashova vyjednávacího problému? Třeba i mnohem jednodušší...)
Jeden z největších teoretiků John Forbes Nash navrhl v roce 1950 jiné rozdělení, které jsme popsali v minulém dílu (v tomto si jej ukážeme graficky). Především se mu pak podařilo své řešení popsat prostřednictvím systému axiómů (konkrétně šesti). Přitom takových axiómů, které z intuitivního hlediska musí platit prakticky vždy. Nejdříve se na jeho řešení podívejme v grafickém vyjádření.
Obrázek 1: Grafické vyjádření Nashova řešení vyjednávacího problému
Jsou možná i jiná řešení, která odpovídají jiným axiómům?
Nepochybně nás napadne, zda existují i jiná řešení, stejně "elegantní" a odpovídající rovněž nějakému systému axiómů, který by byl pro nás intuitivně přijatelný.
Otázka nestojí tak, zda existuje nějaké jiné řešení vycházející z jiné soustavy axiómů. Takových řešení je neomezeně (dokonce nespočetně) mnoho. Otázka je, zda se nám podaří najít taková řešení, kterým odpovídá určitá soustava axiómů a která se nám současně z určitých důvodů "líbí" (vypovídají něco smysluplného o našem světě).
Kalai-Smorodinského řešení Nashova vyjednávacího problému
Jako příklad jiného řešení Nashova vyjednávacího problému se uvádí to, se kterým v roce 1975 přišli Ehud Kalai a Meir Smorodinsky. Je to řešení, které vychází z nejoptimističtějších očekávání, tj. z maximální výplaty, kterou může každý z hráčů dosáhnout oproti bodu nedohody. Grafické vyjádření Kalai-Smorodinského řešení je poměrně jednoduché.
Obrázek 2: Grafické vyjádření Kalai-Smorodinského řešení vyjednávacího problému
Kalai-Smorodinského řešení se liší od Nashova řešení jedním jediným axiómem. Místo nezávislost na irelevantních alternativách zde platí požadavek slabé individuální monotonie.
Obrázek 3: Grafické vyjádření požadavku (axiómu) individuální monotonie
Požadavek individuální monotonie neříká nic jiného než to, že rozšíříme-li původní množinu na množinu, která tuto původní množinu obsahuje jako svoji podmnožinu, pak pro Kalai-Smorodinského řešení v původní množině (x*, y*) a v rozšířené (x´*, y´*) množině platí:
x*< x´*
y*< y´*
tj. hodnoty výplat v rozšířené množině nejsou menší než v původní množině (mohou se zvětšit, nikoli však zmenšit). Pojmem "slabá" vyjadřujeme to, že příslušné nerovnosti jsou neostré. Pokud by nerovnosti byly ostré (x* < x´*, y* < y´*), pak by se jednalo o silnou monotonii.
Zamyslíme-li se nad tímto požadavkem, zdá se nám rovněž téměř samozřejmým, tj. že jinak to ani nemůže být. Přitom Kalai-Smorodinského řešení je odlišné od Nashovo a platí-li příslušné axiómy, je řešením jednoznačně určeným a jediným.
Úloha k zamyšlení 1(38.2):
Tipněte si: Lze popsat řešení "fifty-fifty" (známé třeba i z filmu Čtyři vraždy stačí, drahoušku) prostřednictvím soustavy axiómů?
(Pokračování)