Teorie her jako bojové umění (5)

29. leden 2013 | 08.00 |

Teorie her jako bojové umění (5) 

Odpověď na 1. úlohu k zamyšlení z části (4), tj. úlohu 1(4)

Slavný americký spisovatel detektivek a hororů E. A. Poe se mýlil. Pokud hrajeme hru založenou na uhodnutí toho, zda náš protihráč schová minci v pravé či levé ruce, nevyhrává psychologie. Máme k dispozici strategii, kterou protihráče připravíme o výhodu, i kdyby byl stokrát lepší psycholog než my a my stokrát hloupější.

Strategie, která nám dává stejnou šanci, jako tomu, kdo je inteligentnější, je založena na tom, že ani my sami nesmíme vědět, do které ruky minci dáme. Tj. musíme místo sebe nechat rozhodnout pravděpodobnost, využít nějaký mechanismus generování pravděpodobnosti. Tak, abychom minci s pravděpodobností 1/2 : 1/2 dali buď do pravé, nebo do levé ruky. Totéž platí i pro toho, kdo se snaží uhodnout, ve které ruce mince je.

Poučení z tohoto příkladu: To, co zdá být psychologickým problémem, může mít čistě matematické řešení. Tak tomu je nejen v tomto případě. Později uvidíme, že i to, co se jeví jako morální problém, může mít jednoznačné matematické řešení. Pokud víme, jak se podívat "pod pokličku" toho, co se jeví jako problém naší psychiky či morality, vyvarujeme se mnoha chyb. A to je jeden z důvodů (nikoli ovšem důvod jediný), proč se vyplatí teorii her znát. Alespoň v "uživatelské" podobě.

Poznámka: To, kam až dokáže teorie her se svým matematickým aparátem proniknout, tedy do oblasti problémů, které se jeví jako problém naší psychiky či morality, je fascinující. Tak fascinující, že to navozuje otázku, kde jsou meze uplatnění matematiky a kde je nezastupitelná role psychologie a morálky.

Odpověď na 2.

úlohu k zamyšlení z části (4), tj. úlohu 1(4)

Ve hře "nůžky, kámen, papír" má každý ze dvou hráčů tři strategie:

- Strategie 1 - ukáže symbol nůžek

- Strategie 2 - ukáže symbol kamene

- Strategie 3 - ukáže symbol papíru

Jedná se o hru dvou hráčů se třemi strategiemi jednoho i druhého hráče a s nulovým součtem.

Její výplatní matice je následující:

Hráč 2

Strategie 1 (N)

Strategie 1 (K)

Strategie 1 (P)

Hráč 1

Strategie 1 (N)

0;0

-1;1

1;-1

Strategie 1 (K)

1;-1

0;0

-1;1

Strategie 1 (P)

-1;1

1;-1

0;0

I v této hře má méně inteligentní (hloupější) hráč strategii, kterou vyrovná svůj nedostatek. Bude hrát každou strategii s pravděpodobností 1/3.

Smíšené strategie

Všimněme si, že jsme se dopustili určité terminologické nepřesnosti. Například v případě hry "levá-pravá" jsme uvedli, že každý z hráčů má (jen) dvě strategie. A pak jsme jako nejvhodnější strategii uvedli novou, totiž tu, že hráč použije obě strategie současně, ovšem každou s pravděpodobností 1/2 : 1/2. Teorie her proto rozlišuje:

- Čisté strategie (tj. ty původní).

- Smíšené strategie (ty, které jsou pravděpodobnostním "mixem" původních, tj. čistých strategií).

Smíšené strategie hrají v teorii her velmi významnou roli. Ukáže se, že řada her má jednoznačné (přesné a efektivní) řešení právě ve smíšených strategiích.

Smíšených strategií je nekonečné množství. Každá kombinace čistých strategií, součet jejichž pravděpodobností se rovná 1, je jednou z těchto smíšených strategií. Která je však řešením? V případě výplatních matic, které jsme doposud uvažovali, jsme je našli poměrně jednoduše. Stačí však jen malá změna výplatní matice a nalézt řešení je mnohem obtížnější. Ukážeme si to na dvou úlohách k zamyšlení, jejichž řešení dáme v příštím pokračování. K tomu přidáme ještě jednu úlohu, trochu jiného (i když ne tak zcela) druhu:

1(5). Úloha k zamyšlení

Najděte řešení hry zadané následující výplatní maticí ve smíšených strategiích:

Hráč 2

Strategie 1

Strategie 2

Hráč 1

Strategie 1

-1;1

1;-1

Strategie 2

4;-4

-1;1

Červeně je vyznačena buňka, ve které došlo ke změně.

2(5). Úloha k zamyšlení

Najděte řešení hry zadané následující výplatní maticí ve smíšených strategiích:

Hráč 2

Strategie 1

Strategie 2

Hráč 1

Strategie 1

-1;1

3;-3

Strategie 2

4;-4

-5;5

Červeně je vyznačeny buňky, ve kterých došlo ke změně.

3(5) Úloha k zamyšlení

V ozbrojeném konfliktu se jedna strana (hráč 1) snaží zničit radar protivníka. Druhá strana konfliktu (hráč 2) se jej snaží uchránit.

První strana má k dispozici dva bombardéry a jednu jedinou bombu. Druhá strana má k obraně radaru jednu jedinou stíhačku.

Bombardéry letí na cíl jeden za druhým. Pokud stíhačka zaútočí na 1. bombardér, má šanci pouze 1/4, že jej sestřelí (je totiž chráněn 2. bombardérem, který letí za ní). Pokud zaútočí na 2. bombardér, má šanci 4/5, že jej sestřelí (2. bombardér může chránit pouze sám sebe).

V ozbrojeném konfliktu nejde o to, jaké ztráty kdo bude mít, ale jen o to, zda se radar podaří zničit (vítězství útočící strany) či ne (prohra útočící strany).

Poznámka: Na první pohled se může zdát naprosto logické umístit bombu do prvního bombardéru. Zdání ovšem klame. Pokud problém vyjádříme výplatní maticí a budeme hledat řešení ve smíšených strategiích, dospějeme k zajímavým výsledkům.

Otázky:

- Kam dát bombu?

- Na který bombardér má stíhačka zaútočit.

- Jaká je pravděpodobnost, že radar bude zničen, když každý hráč využije pro něj nejvýhodnější strategii?

(Pokračování)

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 1 (1x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře

RE: Teorie her jako bojové umění (5) vipet 29. 01. 2013 - 19:03
RE: Teorie her jako bojové umění (5) václav pohoriljak 29. 01. 2013 - 23:12