Trochu teorie (té není nikdy dost)

4. leden 2013 | 08.57 |

Trochu teorie (té není nikdy dost)

Včera jsem napsal článek do blogu na konjunkturální téma prezidentské amnestie s trochu provokujícím názvem "Proč nás pobuřuje prezidentská amnestie?! - Vždyť je to přece normální", viz

http://radimvalencik.pise.cz/189743-proc-nas-poburuje-amnestie-je-to-normalni.html

To stačilo, aby se stal nejčtenějším a během prvního dne si ho přečetlo téměř 400 lidí. Když jsem se rozhodl napsat občas článek na blog, zavázal jsem se, že bude-li některý můj článek hodně čtený, napíšu hned takový, o který nebude zájem, ale ve kterém se pokusím sdělit to, co považuji za nejdůležitější. To tímto činím. Článek, který píši je "k nepřečtení".

Považuji ovšem za vhodné jej napsat i proto, že proti Klausově amnestii byla hned svolána demonstrace, kde se to na příslušných stránkách FB hemží i takovýmito příspěvky: "Správný postup je shodit Velkého Kormidelníka z výšky a tím jej usmrtit. Jakákoli jiná demonstrace se míjí účinkem."

To jsou reakce, které nepřispívají k ničemu dobrému. Problém, který se v tomto případě navenek projevil jako nešťastná Klausova amnestie, má podstatu jinde - v působení struktur založených na vzájemném krytí porušování obecně přijatých zásad (tedy na krytí lumpáren). Vlivu těchto struktur podlehl Klaus i Nečas (a dostali se tak do pozice figurky). Dokonce i jinak výřečný a relativně poctivě vystupují senátor Kubera v Událostech a komentářích 3.1.2013 na ČT24 působil (snad poprvé) naprosto trapně, viz:

http://www.ceskatelevize.cz/porady/1096898594-udalosti-komentare/213411000370103/video/

Tyto struktury mají obrovskou moc, a pokud chceme účinně čelit jejich vlivu, musíme se vyzbrojit i teorií. Té není nikdy dost. Mj. k tomu, abychom pochopili (a dovedli si představit), s čím máme co do činění a co vlastně můžeme ovlivnit či změnit k lepšímu.

Příspěvek do blogu uveřejňuji i proto, že možná někoho (s matematickým či technickým vzděláním) problém zaujme i po teoretické stránce. Toho, co se k teoretickému řešení nabízí a co má pro pochopení současné společenské reality značný význam, je totiž víc než dost a každá hlava je dobrá.

Populárně o co jde, ale přesto to není tak jednoduché pochopit

Pokusím se co nejsrozumitelněji vyložit základní koncept, kterým můžeme nahlížet současnou společenskou realitu, především však "zviditelnit" to, co jsme pojmenovali struktury založené na vzájemném krytí porušování obecně přijatých zásad.

První otázka, u které stojí zato se pozastavit, je: Jak popsat roli sociálních sítí ve společnosti? (Mají se na mysli nikoli jen sociální sítě typu FB, ale ty, které se vytvářejí mezi lidmi na bázi rodové či rodinné příslušnosti, společného původu, absolvování stejné školy, příslušnosti ke stejné politické straně, klubu, sdružení apod.)

Z praxe víme, že nám příslušnost k nejrůznějším sítím a pozice v těchto sítích může přinášet různé výhody, které běžně pojmenováváme např. jako "známosti". Popsat roli sociálních sítí ve společnosti znamená především ukázat mechanismus, kterým na základě spříznění lidí prostřednictvím sítí může určitá výhoda vzniknout.

Podívejme se na jakoukoli oblast společenského života, kde jsou lidé sdruženi ke společnému výkonu a kde mohou vznikat různé koalice, které své členy zvýhodňují. (V naší terminologii jsme tyto oblasti společenského života nazvali redistribučními systémy, protože zde dochází k přerozdělování pod vlivem koalic, které zde mohou vznikat.) Takovouto oblastí společenského života (tj. redistribučním systémem) může být pracoviště, firma, rodina, instituce, organizace nejrůznějšího druhu, politická strana či její organizační jednotka, neformální sdružení, sportování klub apod. Tedy zkrátka cokoli. Mohou to být i tři kamarádi (od Remarque, ve slavném francouzském filmu Dobrodruzi či ve Vančurově Rozmarném létě).

Nyní přejděme k terminologii teorie her, jejíž využití se pro další výklad nabízí. Pokud bude existovat mezi některými hráči (tedy lidmi) určité spříznění, jednostranná či vzájemná sympatie, je zřejmé, že to může podstatným způsobem ovlivnit (předurčit) to, jaká koalice v příslušném redistribučním systému vznikne.

Pro jednoduchost, resp. pro snadnou představu budeme uvažovat případ tří hráčů. Je zřejmé, že pokud mají všichni stejný vliv (což obecně nemusí platit), spojí-li se dva z nich a vytvoří koalici, mohou ovlivnit rozdělení toho, co v daném systému lze mezi hráče rozdělit (co společně vytvářejí, co může mít podobu peněžních i nepeněžních výnosů). Otázka zní, jak se hráči rozdělí a jakou roli v tom hrají sociální sítě.

Pokud by mezi hráči neexistovali žádné vztahy sympatií či antipatií a postavení hráčů bylo symetrické (každý by měl možnost ovlivnit vznik koalice stejným způsobem), mohly by vzniknout jen takové dvoučlenné koalice, ve kterých by měl každý z hráčů stejnou výplatu v koalici s jedním i s druhým hráčem. Pokud by totiž pro sebe chtěl některý z hráčů více v jedné nebo ve dvou z dvoučlenných koalic s druhým či třetím hráčem, vytvořila by se koalice bez něj. Toto pravidlo však může být pozměněno v důsledku působení různých vnějších vlivů na daný systém.

Matematický základ dalších úvah

Uvedenou skutečnost můžeme vyjádřit jazykem matematiky. Představme si, že máme nějakou plochu ve třírozměrném prostoru (ve kterém každá ze souřadnicových os vyjadřuje výplatu jednoho z hráčů), přičemž tato plocha je zadaná rovnicí S(x, y, z) = 0. Všechny body na této ploše a pod ní v nezáporné oblasti budeme považovat za některé z přípustných rozdělení výplat mezi hráče. Budeme předpokládat, že tato množina není prázdná, je uzavřená, konvexní a všechny body na ploše, která ji ohraničuje, jsou partopotimální (tj. pro každý z nich platí, že žádný z hráčů nemůže mít větší výplatu, aniž by se výplata některého jiního hráče snížila). Budeme rovněž předpokládat, že v uvedeném prostoru je definován pojem vzdálenosti a na ploše zadané námi uvedenou rovnicí existuje bod maximálního součtu výplat. Pro každý další bod na ploše platí, že čím je od tohoto bodu více vzdálený, tím je součet výplat hráčů menší.

Vlastnosti množiny výplat odpovídají tomu, co lze očekávat v reálných situacích. Není důvod, proč by množina neměla být kompaktní. Lze předpokládat racionalitu hráčů. Rovněž tak rozdělení výplat, při kterém dochází k diskriminaci některého z hráčů či některých hráčů většinou vede k poklesu výkonnosti a tudíž změnšení toho, co si mohou hráči rozdělit.

Nechť máme nyní zadán nějaký bod d0 se souřadnicemi dx0, dy0, dy0. Hodnoty těchto souřadnic můžeme interpretovat jako nejmenší výplatu, kterou musí každý z hráčů dostat, aby se příslušná hra v daném systému mohla sehrát. Pokud by nedostal alespoň takovou výplatu, mohl by např. ze systému odejít či zachovat se tak, že by některý z ostatních hráčů utrpěl větší škodu, než pokud by původní hráč dostal svou minimální výplatu.

Nechť řešením soustavy rovnic

S(x, y, dz0) = 0

S(x, dy0, z) = 0

S(dx0, y, z) = 0

jsou následující hodnoty: dx1, dy1, dy1. Těmto hodnotám odpovídá bod d1(dx1, dy1, dy1). Body se souřadnicemi (dx1, dy1, 0), (dx1, 0, dy1), (0, dy1, dy1) jsou těmi body, ve kterých má každý z hráčů stejnou výplatu ve dvoučlenné koalici s jedním i s druhým hráčem. Tvoří tzv. diskrétní Neumann-Morgensternovu množinu, která je vnitřně i vnějšně stabilní, což znamená, že:

- o žádném z bodů z této trojčlenné množiny nemůžeme říci, že je lepší než některý jiný bod této množiny, tj. že alespoň někteří dva hráči v něm mají výplatu větší (to je vnitřní stabilita),

- pro každý bod z původní množiny S (té, která je vymezena plochou zadanou rovnicí S(x, y, z) = 0) kromě uvedených tří bodů platí, že alespoň jeden ze tří bodů naší množiny je lepší, tj. že existují takoví dva hráči, kteří v tomto bodě mají větší výplatu (to je vnější stabilita).

Pokud by se hráči rozhodli orientovat se na vytvoření dvoučlenné koalice, mohla by vzniknout jen některá ze tří koalic s výplatami hráčů odpovídajícími uvedeným bodům Neumann-Morgensternovy množiny. (Uvažujeme modelovou situaci, kdy jsou hráči plně racionální, plně informováni a nepůsobí - alespoň zatím - žádně vnější vlivy.) Která z koalic vznikne? Předpokládejme, že vznik každá z nich je stejně pravděpodobný (tj. pravděpodobnost vzniku této koalice se rovná 1/3). Pak každý z hráčů může počítat s očekávanou průměrnou výplatou ve výši 2/3 své výplaty, kterou by měl ve vítězné koalici. (Existují dvě koalice, v nichž bude, a v obou má stejnou výplatu.)

Podívejme se nyní na bod d2se souřadnicemi (2/3dx1, 2/3dy1, 2/3dy1). Tento bod leží pod plochou vymezenou rovnicí S(x, y, z) = 0. To znamená, že existuje takové rozdělení výplat mezi naše tři hráče (a takových rozdělení výplat je celá množina, která má stejné vlastnosti jako výchozí množina S), ve kterých má alespoň jeden z hráčů větší výplatu, aniž by se kterémukoli z hráčů výplata snížila. Tj. existují paretovská zlepšení oproti bodu d2(2/3dx1, 2/3dy1, 2/3dy1).

Pokud bude bod d2(2/3dx1, 2/3dy1, 2/3dy1) chápat jako bod nedohody (tj. bod určující velikost výplat hráčů v případě, že se nedohodnou), pak hledání způsobu rozdělení výplat mezi naše tři hráče tak, aby si všichni polepšili, je nazván Nashův vyjednávací problém. Každý případ tohoto typu problému je zadán dvojicí (S, d), kde S je kompaktní konvexní podmnožina nějakého n-rozměrného prostoru (v našem případě trojrozměrného) a d je námi získaný bod d2. Pod pojmem řešení chápeme takovou funkci f  definovanou na všech uspořádaných dvojicích (S, d) v našem prostoru, která každému případu (S, d) přiřazuje hodnotu f(S, d) patřící do S.

Nejznámnějším konceptem řešení kooperativního vyjednávání je Nashovo, dalším velmi známým je Kalai-Smorodinského. Za řešení lze považovat i egalitářské řešení navržené Kalaiem, které je velmi jednoduché. Všechna tato řešení lze vyjádřit axiomaticky.

Z hlediska našeho přístupu stojí zato se zmínit o Kalai-Smorodinského řešení. To vychází z maximálních výplat hráčů určených dvojicí (S, d). Ty lze formálně zapsat takto:

Ui(S, d) = max{xi : pro x patřící do S, kdy x ˃ d}

Pro případ tří hráčů:

Ux(S, d0) = max{x : pro x patřící do S, kdy x ˃ dx0, y ˃ dy0, z  ˃ dz0}

Uy(S, d0) = max{y : pro y patřící do S, kdy x ˃ dx0, y ˃ dy0, z  ˃ dz0}

Uz(S, d0) = max{z : pro z patřící do S, kdy x ˃ dx0, y ˃ dy0, z  ˃ dz0}

Z hlediska aplikace konceptu, který rozpracováváme, je pro nás zajímavé Raiffovo řešení, které vzniklo již v roce 1950. Raiffa navrhuje dynamickou proceduru kooperativního vyjednávání na S, kde se bod d postupně mění. Diskin-Koppel-Samet axiomatizovali a zobecnili Raiffovo diskrétní řešení. Navrhují koncept řešení složený ze dvou funkcí řešení. Jedna funkce reprezentuje prozatímní dohodu a druhá konečný bod dohody. Takový "step-by-step" koncept řešení lze formálně definovat takto:

Dvojice (f, g) funkcí se nazývá postupné řešení, pokud f(S, d) i g(S, d) patří do S pro každý případ (S, d).

Množina zobecněných Raiffových řešení je jistý druh postupných vyjednávacích řešení

{(fp, gp)}0 < p < 1, kde fp a gp jsou definovány následovně:

fp(S, d) = d + p/n(U(S, d) – d), (zde U(S, d) viz výše zmíněné Kalai-Smorodinského řešení)

gp(S, d) = d(S, d)

kde

d(S, d)

je limitou posloupnosti

{dk(S, d)}

bodů konstruovaných induktivně následujícím způsobem:

d0(S, d) = d

dk+1(S, d) = fp(S, dk)

V našem přístupu (kdy nám jde o vyjádření role afinit mezi hráči, příp. i dalších vnějších vlivů působících na systém (námi nazývaný redistribuční systém), ve kterém probíhají hry, které nás zajímají, potřebujeme spojit postupné (sekvenční) řešení s dříve uvažovaným případem vytváření dvoučlenných koalic. Toho na bázi výše popsaného zobecněného Raiffova řešení dosáhneme poměrně snadno, pokud místo maximálních výplat odvozených od dvojice (S,d) vezmeme hodnotu toho, co jsme nazvali očekávanou průměrnou výplatou. Námi navrhované NM-modifikované Raiffovo řešení (NM znamená, že vycházíme z Neumann-Morgensternovy vnějšně i vnitřně stabilní množiny) pro n = 3 získáme tak, že

místo:

fp(S, d) = d + p/3(U(S, d) – d)

vezmeme

fnm(S, d2) = d2 + 2/3(NM(S, d2) – d2)

kde

(NM(S, d2) je bod odvozený od užitků (v případě naší interpretace budeme dále používat vhodnější pojem výplat) hráčů v bodech Neumann-Morgensternovy diskrétní (tříprvkové) vnitřně a vnějšně stabilní množiny na S.

Poznámka: Kromě diskrétního řešení (které předpokládá plnou symetrii možností hráčů při tvorbě dvoučlenných koalic) existují i další NM množiny, které mají nekonečně mnoho prvků.

NM-modifikované Raiffovo řešení určitým způsobem spojuje dva případy (což je významné právě z hlediska aplikací, kterými se budeme zabývat dále):

1. Případ, kdy se hráči (každý z nich) rozhodnou vytvářet pouze dvoučlenné plně diskriminující koalice, tj. dva hráči, kteří vytvoří koalici, dají třetímu hráči nejmenší možnou výplatu. To, že dva hráči vytvářejí plně diskriminující dvojici, tj. dvojici plně diskriminujícího třetího hráče, je totéž, jako to, že v rámci této koalice využívají všechny možnosti paretovského zlepšení v rámci možností, které se této dvojici nabízejí.

2. Případ, kdy hráči vytvářejí velkou, tj. trojčlennou koalici.

Spojení mezi oběma případy lze chápat takto: Výplatu každého hráče při vytváření plně diskriminujících koalic lze z jeho hlediska považovat za náklad obětované příležitosti ve vztahu k možnosti vytvořit trojčlennou koalici. Pokud hráči trojčlennou koalici budou vytvářet, budou z pochopitelných důvodů požadovat výplatu vyšší nebo přinejmenším rovnou té, jakou by měli v koalici dvoučlenné.

Všimněme si, že "můstek", kterým propojujeme oba případy (vytváření dvoučlenných koalic uvedených a trojčlenné koalice), tj. uplatnění principu nákladů obětované příležitosti a zavedení pojmu očekávaná průměrná výplata, již implicitně obsahuje zadání "step-by-step" procesu, který vyústí v jednobodové řešení v případě trojčlenné koalice.

Snadno lze vidět následující:

1. V případě dvou hráčů zobecněné Raiffovo řešení při p = 1/2 splývá s obdobou NM-modifikovaného Raiffova řešení.

2. V případě, že součet výplat hráčů je konstantní a neuvažujeme rozdíl mezi výplatou a užitkem z výplaty, nemá zavedené NM-modifikovaného Raiffova řešení smysl, protože žádné paretovské zlepšení oproti tvorbě dvoučlenných plně diskriminujících koalic neexistuje.

Podrobněji viz následující teoretické zdroje:

* Benesch, J., Mihalčinová, H, Valenčík, R. Resolved and unresolved problems in theory of redistribution systems, Proceedings of the 30th Internacional Conference Mathematical Methods in Economics, Part I, pp. 31-36, 2012

* Diskin, A., Koppel, M., Samet, D.: Generalized Raiffa solutions, Games and Economic Behavior (2011), doi: 10.1016/j.geb.2011.04.002 Available online 14 April 2011, DOI: 10.1016/j.geb.2011.04.002

* Kalai, E., Smorodinsky, M.: Other Solutions to Nash's Bargaining Problem, Econometrica, 43 (1975): 513-518

* Mihola, J., Valenčík, R., Vlach, M. 2012: Game Theoretic Models of Distribution Systems

Raiffa, H.: Arbitration Schemes for Generalized Two Person Games, Contributions to the Theory of Games II, H.W. Kuhn and A.W. Tucker eds., Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1953

Co z toho plyne?

Tímto jsme si vytvořili jen základní koncept, který nám umožní vyjádřit a analyzovat působení vnějších vlivů typu afinit a tedy i různých sociálních sítí na (téměř libovolnou) oblast společenského života. Zajímat nás budou zejména sítě spojené s investováním do společenské pozice a sítě spojené se vzájemným krytím, protěžováním i vydíráním hráčů, kteří na sebe něco vědí. Ale o tom až příště.

Zpět na hlavní stranu blogu

Hodnocení

1 · 2 · 3 · 4 · 5
známka: 5 (1x)
známkování jako ve škole: 1 = nejlepší, 5 = nejhorší

Komentáře

RE: Trochu teorie (té není nikdy dost) ing.miloslav Žák 04. 01. 2013 - 16:26
RE(2x): Trochu teorie (té není nikdy dost) radim valenčík 05. 01. 2013 - 09:33